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想要将复杂问题简单化,来看看数学家们都怎么做的?

来源:中科院物理所 作者: 发布时间:2019-09-29 10:57 浏览次数: 【字体:

根据"弱平斯克猜想"(weak Pinsker conjecture),所有演化都可以利用随机性和确定性的独特组合来描述。

可以想象一个花园,里面到处都是世界上各式各样的花:有娇嫩的兰花、有挺立的向日葵、有仙人掌的蜡质花,当然可能还有泰坦魔芋的臭花(the corpse flower,又名尸花,其花散发出腐尸的恶臭味)。现在想象将所有的花卉种类减少到只有两个品种,而通过这两种的杂交就可以生产其余的所有品种。

近几年数学界影响最为广泛的一个成果就可以此为喻。数学家蒂姆·奥斯汀(Tim Austin)据此研究的数学现象被称为:系统演化的数学描述。

这种描述被称为:动力学系统。可以被用作大至行星运动,小至股票市场的波动。无论这个动力学系统发生在什么地方,数学家们最想要确认的是如何研究它的规律。其中最为基本的一点是,系统无论有多么复杂,都能被分解为随机系统和确定系统的组合。

这个问题是1970年首次提出的:"弱平斯克猜想"。奥斯汀的猜想提供了一种优雅而直观的视角来思考各种复杂的现象。他表明:从本质上来看,任何动力学系统都是确定性和随机性的组合。

命运和机会

动力学系统的运动始于一些初始状态的输入,例如:处于一个位置的单摆,按照牛顿定律,产生下一秒位置的输出。重要的是,动力学系统能够重复这个过程:将单摆放到一个新的位置,利用同样的规则,得到下一秒位置。

动力学系统也以纯粹的数学形式出现。选择一个起始数字,利用"将这个数字乘以2",从而产生一个新数字。然后,系统可以将输出的数字反馈给规则,接连不断地产生下一个数字。

各种各样的动力学系统可以被表示为两个简单的动力学系统的组合。两个系统相互独立,但是相互结合可以产生更多更复杂的系统。例如,想象一个在圆柱体表面上移动的点:在圆柱上放上一个点,应用某种规则,然后得到另一个点。

"不需要研究整个系统,只需要将其分解为有意义的最小组件,就可以研究分析这个问题了",波士顿大学的数学家凯瑟琳·林赛(Kathryn Lindsey)说。

这些组件有两种可能性,一种是完全确定的动力学系统。像例子中的单摆系统,如果知道在某时刻的单摆的位置,就能无限制地预测其下一步的位置了。

第二种是完全随机的系统。比如,想象一个有着如下规则的系统:投掷一个硬币,如果硬币正面朝上,则向左走;反之,则向右走。最后的行走路径一定是完全随机的。这意味着你即使知道某一确定点的所有路径,也不知道下一步该往哪边走。

虽然某些动力学系统是完全随机的,某些是完全确定的,但是大多数是介于随机和确定之间的。比如,想象我们随机行走时发生的转弯现象。这次,这条路上开着很多鲜花——花的颜色本身是随机的。我们的规则还是一样的:硬币朝上向左拐,硬币朝下向右拐。你见到的花的颜色是什么顺序?

乍一看你可能觉得这完全是随机的。毕竟,花的颜色是随机分布的,你的行走也是随机的。但是,一旦你遇见一种颜色的花之后,由于靠近它,你访问同样颜色的花的概率就会高一些。颜色的顺序本身不是随机的。

"如果你现在看到了红色的花,那么接下来的两步中你看到红色的概率会增加,因为你可能先左后右返回到原点",奥斯汀说。

这种"随机场景中的随机行走"系统生成的结果——颜色的顺序——部分是随机的,部分不是。在1960年,数学家马克·平斯克(Mark Pinsker)推测,某些大型动力学系统有如下特性:它们都是随机性动力学系统和确定性动力学系统的混合体。

注:平克斯的猜想适用于一些均具有基本属性的动力学系统。在这些系统中,随着系统的发展,积分既不会发散也不会收缩。更具体一些,如果围绕空间的一组点绘制一个环(比如说圆柱的表面),利用动力学规则长时间演化这个系统,然后围绕这个输出的点画一个环,你会发现,开始和结束的环都是一样的。这些系统被称为:"测度不变",并在被称为各态历经理论动力学子领域中进行研究。

普林斯顿大学数学家阿萨夫·纳尔(Assaf Naor)说:"如果'平斯克猜想'是正确的,那它对世界的描述将会是惊人的。"但是1973年,唐纳德·奥恩斯坦(Donald Ornstein)证明了平克斯是错的。西北大学的数学家莱纳·克纳(Bryna Kra)说:"这是一个过于雄心勃勃的表述。"

在数学中经常发生这样的事情,即在证明所有的猜想都是错误的之后,数学家们往往会尝试使用更中和的叙述。在1977年,数学家让·保罗·托维诺特(Jean-Paul Thouvenot)提出了"弱平克斯猜想"。他弱化了最初的表述,推测平克斯所设想的动力学系统是完全随机系统和几乎完全确定性系统相结合的产物。

修饰词"几乎"的引入将托维诺特和平克斯的猜想区别开来。托维诺特的意思是,简单的确定性系统至少需要具有一定的随机性,该随机性可以很小,但是必须存在。只要这样,平克斯的设想就可能成立。

这很接近最初的设想,托维诺特证明了:如果这是真的,"弱平克斯猜想"可以用在一系列系统上面。

在接下来的几十年,数学家们在证明"弱平克斯猜想"上取得的进展很小。这不免让托维诺特认为,即使放宽了条件,猜想也是错的。"在某些时候,我认为这是完全错误的,这个猜想不会是普适的。"

然后蒂姆·奥斯汀登场了。

分步解决方案

要证明"弱平克斯猜想",需要找到一种精确的方法来筛选动力学系统,将其中随机性和几乎确定性的要素分开。"之前的工作已经确定小而随机的元素是最难分离的部分。"托维诺特说。

奥斯汀用另一个角度看问题,去了解动力系统中小而随机的元素。动力学系统在连续空间中运行,例如在圆柱表面上移动的点或在空间中摆动的摆锤。在这些空间中,点根据动力学系统的规则以连续弧线移动。这些动力学系统还可以连续执行许多步骤——你能够让他们永远运行。

但在奥斯汀的证明中,他没有考虑永远运行的平滑连续系统,而是在一段离散时间内(比如说一百万步)运行时发生的情况。在这种情况下,他采用了托维诺特之前解决问题的方法。

"托维诺特的最大贡献是他指出了如果能够在有限长的字符串下进行数学规则的运算,就能证明动力学系统的属性",奥斯汀说,"我的贡献是想出并证明这些字符串需要哪些性质。"

奥斯汀设想了一个能够产生一系列输出1和0数字的动力学系统。如果动力学系统是翻转硬币,很容易发现:头朝上是1,朝下是0。任何动力学系统都能用来产生二进制序列,仅仅只需要将其空间拆分为两部分(不一定相等)。

  

以圆柱上的动力学系统为例,如果点落在圆柱体上的一部分,系统输出1;如果点落在另一部分上,系统输出0。

奥斯汀使用了信息论中一种称为"汉明立方体"(Hamming cubes)的工具来分析了这些二进制序列。想象一个空心立方体。每个顶点都被分配了三个二进制数字,例如001或者101。每当你从一个顶点移向另一个顶点时,这三个数字中的一个就会翻转。

实际的汉明立方体要比上文的例子复杂很多,涉及到三维以上的更多的边和顶点。但它都具有以下属性:任意两顶点之间的距离,即从一个顶点到另一个顶点要穿过的边的数字,与这两个顶点上信息字符串不同的位置数是一样的。所以000与001的距离是1,与011的距离是2,与111的距离是3。

为了分离复杂系统中随机和确定性元素,奥斯汀考虑了动力学系统生成一次序列中1和0序列的频率(如汉明立方体所示)。他证明了其以一定的方式分布在汉明立方体上,它们聚集为立方体上面的一个子空间,这种聚类本身反映了系统中的确定性,但以类随机的方式分布在这些聚类的序列之间,这反映了系统的随机性。

看来,直接求无法解决问题时,迂回会更有效。

"如果有人能够证明弱平克斯猜想,无论是证明正确还是错误,我都不会惊讶,因为这个问题是个很微妙的问题,"德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家路易丝·鲍恩(Lewis Bowen)说:"在证出来之前,我们真不知道这种事能不能做成。"

奥斯汀的结果为各种动力学系统奠定了基础。对于数学家来说,即使他们的研究涉及到各种相互关联的课题,他们仍然不能说清楚彼此之间的关系。现在他们有了有关于动力学系统的指南,但是关于指南的发现还待发现。

"数学家们总是对构建事物的要素感兴趣,奥斯汀的证明是个不错的成果,可能会在纯数学的研究中有很多应用,但是那些应用是什么样子的?我并不知道。"林赛说。

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